자원처리 - 침강이론: Stoke's & Newton's Law

I. Sedimentation: 중력에 의한 침강

 

주로 침전조, 정화조 등에서 침강하는 입자에는 중력(Gravity Force), 부력(Buyoncy Force) 그리고 유체 점성 등에 의한 항력(Drag Force)이 작용합니다. 이 때 항력이 작용하는 방향은, 유체와 입자의 방향에 의하여 결정됩니다. (따라서, 침전조 내에서 항력은 중력에 반하는 방향으로 작용하게 됩니다.)

 

유체 내 질량이 m인 입자에 F_g(중력), F_b(부력), 그리고 F_D(항력)의 힘이 작용하고 이 때 입자의 가속도를 du/dt라 하였을 때,

 

m: 입자의 질량

g_c: 뉴턴법칙 비례상수

 

이며, F_g, F_b 및 F_D는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

ρ: 유체 밀도

ρ_P: 입자 밀도

C_D: 항력계수(Drag Coefficient)

u₀: 입자 침강속도

A_P: 입자 투영면적

 

이에 따라, 식 (1)에 식 (1.1), (1.2), (1.3)을 대입 및 정리하면, 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

II. Terminal Velocity: 종말속도

 

침전되는 입자의 속도가 증가할수록, 항력 또한 증가합니다. 이에 따라 가속력은 이 항력에 의하여 감소하며 결국 0이 되며, 증가하던 입자의 속도도 어느 일정한 속도에 도달하게 됩니다. (u₀=u_t)

 

이를 종말속도라고 합니다. 이 종말속도는 가속도가 0이 되는 지점 즉, du/dt가 0이 되는 지점에서의 속도이며, 식 (1.4)를 통해 아래와 같이 정리 할 수 있습니다.

 

 

(1) 항력상수(Drag Coefficient, C_D)

항력상수와 레이놀즈수 (구형입자)

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(2) 구형입자의 종말속도

 

지름이 D_P인 구형 입자에 대한 질량 m과 투영면적 A_P는 각각 아래와 같습니다.

 

 

식 (2.1)에 이들을 대입하여 정리한 식은 식 (2.4)과 같습니다. 

 

 

2-1) Stokes' Law

 

레이놀즈수(N_Re.P)가 1보다 작을 때, 항력계수 C_D는 식 (2.1.1)과 같으며 이에 따라 식 (1.3) 항력(F_D)과 식 (2.4) 종말속도(u_t)는 각각 식 (2.1.2)와 (2.1.3)으로 정리할 수 있습니다.

 

 

이 때, μ는 유체 점성계수이며, 식 (2.1.3)을 Stokes' Law라 합니다.

 

2-2) Newtons' Law

 

레이놀즈수(N_Re.P)의 범위가 1000<N_Re.p<200,000일 때, 항력계수 C_D는 식 (2.2.1)과 같으며 이에 따라 식 (1.3) 항력(F_D)과 식 (2.4) 종말속도(u_t)는 각각 식 (2.2.2)와 (2.2.3)으로 정리할 수 있습니다.

 

 

이 레이놀즈수의 범위에서 항력계수는 거의 변화가 없습니다. 

 

 

식 (2.2.3)을 Newtons' Law라 합니다.